Parmi les instruments auxquels le nom de Borda demeure attaché figure le cercle de réflexion, développé à partir d’un dispositif imaginé par l’astronome allemand Tobias Mayer et perfectionné par Borda dans les années 1770. Destiné principalement aux observations en mer, il permettait de mesurer avec une grande précision des distances angulaires, notamment la hauteur d’un astre au-dessus de l’horizon ou la distance entre la Lune et un autre astre. Son limbe était gradué de 0 à 720°. L’un de ses principaux avantages résidait dans la possibilité de répéter plusieurs fois une même mesure avant d’en effectuer la lecture, ce qui permettait de réduire l’influence de certaines erreurs instrumentales et d’observation.

Le cercle répétiteur, également associé au nom de Borda, était un instrument distinct, destiné surtout aux observations astronomiques et aux opérations géodésiques terrestres. Il reposait lui aussi sur le principe de répétition : un même angle pouvait être mesuré successivement sans ramener l’instrument à zéro, puis la valeur obtenue était divisée par le nombre de répétitions. Des exemplaires construits par Étienne Lenoir furent notamment employés par Jean-Baptiste Delambre et Pierre Méchain lors de la mesure de l’arc du méridien entre Dunkerque et Barcelone, entreprise fondamentale pour la détermination du mètre.

Ces deux instruments illustrent la place centrale qu’occupait alors la mesure de précision dans les travaux de Borda. Le cercle de réflexion joua un rôle important dans la navigation de la fin du XVIIIe siècle, notamment pour les observations astronomiques permettant de déterminer la latitude et, par la méthode des distances lunaires, la longitude. Borda s’intéressa également aux montres marines et à l’importance croissante de la méthode chronométrique pour la détermination des longitudes.

Ses travaux s’inscrivaient plus largement dans les profondes transformations des sciences de la mesure à la fin du XVIIIe siècle. Borda participa aux commissions chargées de définir les nouvelles unités du système métrique et défendit leur division décimale. Les instruments et méthodes qu’il avait contribué à développer furent étroitement associés aux opérations géodésiques de Delambre et Méchain, chargés de mesurer l’arc du méridien qui devait servir à déterminer la longueur du mètre. Borda fut par ailleurs l’un des premiers membres du Bureau des longitudes, créé en 1795, institution chargée notamment de perfectionner les méthodes de navigation, les tables astronomiques et la détermination des longitudes.

Les instruments conçus ou perfectionnés sous son influence restaient pleinement d’actualité au moment de l’expédition Baudin. Un épisode rapporté par Louis de Freycinet à Port Jackson, en novembre 1802, en fournit une illustration particulièrement concrète. Il montre à la fois l’importance accordée au cercle de réflexion dans les travaux hydrographiques et les difficultés liées à la répartition d’un matériel scientifique peu abondant entre les différents bâtiments de l’expédition.

Alors qu’il préparait le départ du Casuarina, dont il venait de recevoir le commandement, Freycinet adressa à Baudin, le 22 brumaire an XI (13 novembre 1802), une nouvelle demande de matériel. Outre des cordages, des outils, un compas de route de plus grande dimension et du papier destiné au dessin des cartes, il réclama deux instruments qu’il jugeait indispensables à ses travaux :

Leur association dans la même demande est révélatrice des méthodes hydrographiques de l’époque : le cercle permettait les mesures angulaires nécessaires aux observations astronomiques et aux reconnaissances côtières, tandis que la montre marine fournissait la référence temporelle indispensable à la détermination des longitudes.

Le lendemain, la discussion avec Baudin prit un tour particulièrement tendu. D’après le récit de Freycinet, le commandant lui annonça qu’il n’obtiendrait qu’un seul des objets demandés. Freycinet insista alors :

Baudin refusa toutefois de se séparer de l’une des deux montres qui lui restaient. Il fit valoir que Freycinet n’aurait pas à travailler isolément puisque le géographe Charles-Pierre Boullanger devait participer aux opérations hydrographiques du Casuarina : « en ne vous séparant pas du géographe, vous vous servirez de nos observations ».

Cette remarque prend tout son sens dans l’organisation scientifique alors mise en place à Port Jackson. Boullanger, jusque-là embarqué sur le Géographe, fut associé à Freycinet pour plusieurs des reconnaissances effectuées par le Casuarina. Le commandant de l’expédition considérait donc que les observations réalisées par le géographe et, plus généralement, les données recueillies par les différents éléments de l’expédition pouvaient être mises en commun. Freycinet, de son côté, estimait qu’il devait disposer directement des instruments nécessaires pour exécuter avec exactitude les levés qui lui seraient confiés.

Ne pouvant obtenir la montre marine, Freycinet demanda au moins l’un des « deux cercles de réflexion qui étaient à bord du Naturaliste », précisant que l’autre était hors de service. Il justifia sa demande par les exigences mêmes de sa mission : lorsqu’il serait chargé de reconnaître une portion de côte, expliqua-t-il à Baudin, il ne pourrait « faire ce travail avec exactitude sans les instruments » qu’il réclamait.

La suite de son journal montre que le désaccord dépassait désormais la seule question du cercle de réflexion. Freycinet rapporte que plusieurs de ses autres demandes furent également refusées, notamment celles concernant un grand compas de route, du cordage et du papier. Il renonça même à réclamer la Connaissance des temps, ouvrage indispensable aux calculs astronomiques, puisqu’il estimait qu’il lui serait inutile sans les instruments nécessaires aux observations : « ce livre me devenait inutile puisque je ne pouvais point avoir d’instrument pour observer ».

Freycinet interprétait manifestement cette situation comme contradictoire avec la mission hydrographique qui lui avait été confiée. Revenant sur sa « dernière conférence » avec Baudin, il s’interrogeait dans son journal :

Il se rendit ensuite auprès de Jacques-Félix-Emmanuel Hamelin, commandant du Naturaliste, pour lui faire part de la conversation et lui demander d’intervenir en sa faveur auprès de Baudin.

L’épisode renseigne ainsi très concrètement sur les conditions matérielles de l’hydrographie au cours du voyage. Les observations astronomiques ne pouvaient être dissociées des instruments permettant de les effectuer, des tables nécessaires à leur calcul et des montres marines fournissant une référence temporelle. Les cercles de réflexion, chronomètres, compas et ouvrages astronomiques formaient un ensemble technique dont les différents éléments étaient complémentaires.

Le passage témoigne également des relations alors très tendues entre Freycinet et Baudin. Dans le journal de Freycinet, le conflit autour des instruments fait apparaître un désaccord plus général sur l’organisation du travail hydrographique, les moyens à mettre à la disposition du Casuarina et le degré d’autonomie dont son commandant devait disposer. Baudin semble privilégier la mise en commun des observations et des ressources de l’expédition, tandis que Freycinet estime devoir disposer directement des instruments nécessaires pour exécuter avec exactitude les reconnaissances qui lui sont confiées.

Le cercle de réflexion apparaît ainsi non comme un simple élément de l’équipement scientifique, mais comme l’un des outils fondamentaux de la pratique hydrographique. Cet échange donne une mesure concrète de la valeur accordée, au début du XIXe siècle, aux instruments de précision associés aux travaux de Borda : leur disponibilité conditionnait directement la possibilité d’observer, de calculer les positions, de reconnaître les côtes et d’établir les cartes.